共形群的最小表示与广义拉盖尔函数

我们给出了（非必然为欧几里得的）若尔当代数 $V$ 的共形群的有限覆叠 $G$ 的最小表示的统一构造。该表示实现在 $V$ 的结构群 $L$ 的最小轨道 $\mathcal{O}$ 的 $L^2$-空间上。我们构造了其对应的 $(\mathfrak{g},\mathfrak{k})$-模，并证明它可以积分成 $G$ 在 $L^2(\mathcal{O})$ 上的酉不可约表示。特别地，我们对两种最著名的最小表示获得了统一的方法，即亚跖群 $\textup{Mp}(n,\mathbb{R})$ 的 Segal--Shale--Weil 表示以及最近由 T. Kobayashi、G. Mano 和 B. {\O}rsted 研究的 $\textup{O}(p+1,q+1)$ 的最小表示。在第二部分中，我们研究了在表示中产生 $\mathfrak{k}$-有限向量的特殊函数。这些特殊函数的各种性质，如微分方程、递推关系和积分公式，与所涉及的表示论相联系。最后，我们通过最长 Weyl 群元素的作用定义了共形反演算子 $\mathcal{F}_{\mathcal{O}}$。$\mathcal{F}_{\mathcal{O}}$ 是 $L^2(\mathcal{O})$ 上的二阶酉算子。我们证明了 $\mathcal{F}_{\mathcal{O}}$ 对径向函数的作用由 Meijer $G$-变换的一种特殊情况给出。