超共形代数与模拟θ函数的表示

众所周知，仿射李代数 $\hat{\frak{g}}$ 上给定水平的可积最高权模的归一化特征标张成一个 $SL_2(\mathbf{Z})$-不变空间。这一结果推广到容许 $\hat{\frak{g}}$-模，其中 $\frak{g}$ 为单李代数或 $osp_{1|n}$。当 $\frak{g} =sl_2$（相应地为 $= osp_{1|2}$）时，对容许 $\hat{\frak{g}}$-模应用量子哈密顿约化（QHR），可得到 Virasoro（相应地为 $N=1$ 超共形代数）上的极小级数模，它们构成模不变族。模不变性的另一实例出现在边界水平容许模中，包括 $\frak{g}$ 为基本李超代数时。例如，若 $\frak{g}=sl_{2|1}$（相应地为 $=osp_{3|2}$），我们由此得到 $\hat{\frak{g}}$-模的模不变族，其 QHR 产生 $N=2$ 超共形代数（相应地为 $N=3$ 超共形代数模的模不变族）的极小级数模。然而，当 $\frak{g}$ 是不同于单李代数或 $osp_{1|n}$ 的基本李超代数时，容许 $\hat{\frak{g}}$-模的归一化超特征标的模不变性仅在边界水平之外、按照 Zwegers 对模拟 θ 函数的修正精神对其修正后才成立。应用 QHR，我们得到 $N=2,3,4$ 及大 $N=4$ 超共形代数的表示族，其修正后的（超）特征标张成 $SL_2(\mathbf{Z})$-不变空间。