SL(2,C)齐性空间的表示、嵌入与自同构

对于特征零的代数闭域$k$和线性代数$k$-群$G$，众所周知，每个仿射$G$-簇都允许一个$G$-等变闭嵌入到有限维$G$-模中。这样的嵌入是$G$-簇的一个表示，而极小表示是指$G$-模的维数最小的表示。寻找极小表示的问题推广了确定仿射空间上的群作用是否可线性化的问题。我们给出了$SL_2(k)$的每个齐性空间的极小表示。这是本文的主要工作。特别令人感兴趣的是曲面$Y=SL_2(k)/T$和$X=SL_2(k)/N$，其中$T$是一维环面，$N$是其正规化子。我们证明$X$的极小表示的维数为5，$X$的嵌入维数为4，并且不存在$X$到$A_k^4$的闭$SL_2$-等变嵌入。因此，$X$上的$SL_2$-作用绝对不可扩展到$A_k^4$。我们还给出了另外两个具有绝对不可扩展群作用的曲面例子。此外，$X$是不可消去的，即存在一个曲面$Z$使得$X\times A_k^1\cong_k Z\times A_k^1$但$X\not\cong_kZ$。最后，我们通过构造不等价嵌入，解决了关于$Y$在$A_k^3$中是否存在不等价闭嵌入这一长期悬而未决的问题。