不可定向曲面映射类群的低维线性表示

假设$f$是从具有$n$个边界分量的亏格为$g$的不可定向曲面$N_{g,n}$的映射类群$\mathcal{M}(N_{g,n})$到$\mathrm{GL}(m,\mathbb{C})$的同态。我们证明，如果$g\ge 5$，$n\le 1$且$m\le g-2$，则$f$通过$\mathcal{M}(N_{g,n})$的阿贝尔化分解，对于$g\in\{5,6\}$其阿贝尔化为$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$，对于$g\ge 7$其为$\mathbb{Z}_2$。如果$g\ge 7$，$n=0$且$m=g-1$，则要么$f$具有有限像（若$g\ne 8$则阶数至多为二），要么它共轭于四个“同调表示”之一。作为一个应用，我们证明对于$g\ge 5$和$h<g$，每个同态$\mathcal{M}(N_{g,0})\to\mathcal{M}(N_{h,0})$都通过$\mathcal{M}(N_{g,0})$的阿贝尔化分解。