不可定向曲面映射类群的单射同态

设 $N$ 为亏格为 $\rho$、具有 $n$ 个边界分支的紧致连通不可定向曲面，其中 $\rho \ge 5$ 且 $n \ge 0$，并设 $\mathcal{M} (N)$ 为 $N$ 的映射类群。我们证明，如果 $\mathcal{G}$ 是 $\mathcal{M} (N)$ 的有限指标子群，且 $\varphi: \mathcal{G} \to \mathcal{M} (N)$ 是单射同态，则存在 $f_0 \in \mathcal{M} (N)$ 使得对所有 $g \in \mathcal{G}$ 均有 $\varphi (g) = f_0 g f_0^{-1}$。我们推导出 $\mathcal{M} (N)$ 的抽象共量群与 $\mathcal{M} (N)$ 自身重合。