具有非平凡零化的齐性黎曼流形

我们针对不可约齐性空间 $M= G/H$ 发展了一套关于其曲率张量零化 $\nu$ 的一般理论。我们构造了与零化相关的自然不变（不同且递增）分布，从而深刻洞察此类空间。特别地，必存在一个不在零化中的二阶平移，其 Jacobi 算子为零。这一事实对于找到首批具有非平凡零化（即零化分布不平行）的齐性例子非常重要。此外，我们在任意维数下构造了零余维 $k=3$（最小可能值）的不可约例子。我们的例子均不容许有限体积商。我们还证明了若 $k=3$ 则 $H$ 平凡且 $G$ 可解。我们的另一主要结果是零化的叶层闭（我们运用了颇为精细的论证）。这意味着 $M$ 是沿零化叶层所得商上的欧氏仿射丛。进而我们证明 $\nu ^\perp$ 在该丛上定义了一度量联络，其 holonomy 传递，或等价地，$\nu ^\perp$ 完全不可积（这对于任意自平行且平坦的不变分布一般而言不成立）。我们还发现了一些关于非平凡零化存在的普遍障碍：例如，若 $G$ 为约化群（特别地，若 $M$ 紧），或若 $G$ 为两步幂零。