非交换几何 2000

我们描述非交换几何的基本概念，以及一个将普通空间与交换代数之间的熟知对偶推广为商空间与非交换代数之间对偶的一般构造。我们回顾了该理论的基本工具：K 理论、循环上同调、Morita 等价、算子论指标定理、Hopf 代数对称性。它们涵盖了非交换空间的全局方面，例如 NC 环面 $\Tb_{\theta}^2$ 的变换 $\theta \to 1/\theta$，这是在 $\theta$ 的如星积或 Moyal 积等微扰展开中不可见的。我们讨论“NCG 中什么是流形”的基础问题，并解释 K-同调中的 Poincare 对偶的作用，这是谱观点的基本原因。当特殊化到 4 维几何时，这导出普适的“瞬子代数”。我们描述与 G. Landi 的工作，它从瞬子代数的表示给出 NC-球面 $S_{\theta}^4$。我们证明任意等距群秩 $r \geq 2$ 的紧 Riemannian 自旋流形都容许到非交换几何的等谱形变。我们综述与 H. Moscovici 关于叶状结构横截几何的工作，它给出流形上度量丛上的微分同胚不变几何，以及循环上同调到 Hopf 代数的自然推广。接着是与 D. Kreimer 关于重整化与 Riemann-Hilbert 问题的工作。最后我们描述从全局域上 Adele 类非交换空间的 zeta 与 L-函数零点的谱实现，及其与 Langlands 纲领中 Arthur-Selberg 迹公式的关系。我们以重整化群与 archimedean 位置处缺失的 Galois 理论之间诱人的联系作结。