非交换几何与 AF 代数上的规范理论

非交换几何(NCG)是 Alain Connes 于 1990 年代发展的数学学科。它作为一种通常几何的新推广而被提出，既涵盖又超越了黎曼框架，且置于纯代数形式体系之内。如同黎曼几何，NCG 也与物理有联系。事实上，NCG 为粒子物理标准模型(SMPP)的重述提供了强有力框架，其在基于非交换规范理论(NCGFT)的单一“几何”表示中，将广义相对论一并考虑。此外，这一成果为研究超越 SMPP 的多种可能性（如大统一理论(GUTs)）提供了便利框架。本论文意在展示由 Thierry Masson 与本人近期发展的一种优美方法，其提出在 NCGFTs 框架内构造 GUTs 的一般方案。这涉及研究基于近似有限 $C^*$-代数（AF 代数）的 NCGFTs，利用代数的导子或谱三元组来建立规范理论底层的微分结构。定义 AF 代数的归纳序列被用于构造一列 Yang-Mills Higgs 型 NCGFTs，使得秩 $n+1$ 可表示秩 $n$ 的大统一理论。该框架的主要优势在于，它借助适当条件控制了沿 AF 代数归纳序列的自由度间的相互作用。这暗示了一种获得类 GUT 模型的方式，同时为超越 SMPP 提供了诸多理论探索方向。