二阶紧特殊线性紧群的表示增长

我们研究非阿基米德局部域整数环上 $\mathrm{SL}_2$ 的有限维连续复表示，该局部域具有偶剩余特征。我们证明对于特征二，表示 zeta 函数的收敛横坐标为 $1$，解决了该问题最后一个未决情形。我们进一步证明，与预期相反，对于任意 $r > 1$，$\mathbb C[\mathbb{SL}_2(\mathbb Z/(2^{2 r}))]$ 与 $\mathbb C[\mathbb{SL}_2(\mathbb F_2[t]/(t^{2r}))]$ 的群代数不同构。这是已知的有限环上约化群中第一个在等特征与混合特征情形下表示论真正不同的类。由我们的方法，我们显式得到了 $1 \leq r \leq 3$ 时 $\mathrm{SL}_2\left (\mathbb F_2[t]/(t^{2r}) \right)$ 与 $\mathrm{SL}_2\left (\mathbb Z/(2^{2r}) \right)$ 的本原表示 zeta 多项式。