三维引力模空间的量子化

对于带穿孔曲面 $S$，我们构造了 $S\times\mathbb{R}$ 上具常截面曲率 $\Lambda$ 的极大全局双曲洛伦兹度规的模空间 $\mathcal{GH}_\Lambda(S\times\mathbb{R})$ 的量子化。尽管已知该模空间与 $S$ 的 Teichmüller 空间的余切丛辛同胚，且与 $\Lambda$ 的取值无关，我们定义了几何自然的观测类，从而得到依赖于 $\Lambda$ 的量子化。利用特殊坐标系，我们首先将 $\mathcal{GH}_\Lambda(S\times\mathbb{R})$ 视为取值于广义复数环 $\mathbb{R}_\Lambda = \mathbb{R}[\ell]/(\ell^2+\Lambda)$ 的簇 $\mathscr{X}$-变种的点集。随后我们通过建立量子双对数函数 $\mathbb{R}_\Lambda$ 版本，发展了簇 $\mathscr{X}$-变种的 $\mathbb{R}_\Lambda$ 版量子理论。作为结果，我们得到了 $S$ 的映射类群的三族射影酉表示。当 $\Lambda <0$ 时，这些表示重现了 Fock 与 Goncharov 的表示；而当 $\Lambda\geq 0$ 时，这些表示是新的。