基于层模型的一类解析Hilbert模子模的几何不变量

设$\Omega \subseteq \mathbb C^m$为有界连通开集，$\mathcal H \subseteq \mathcal O(\Omega)$为解析Hilbert模，即Hilbert空间$\mathcal H$具有再生核$K$，多项式环$\mathbb C[\boldsymbol{z}]\subseteq \mathcal H$稠密，且由$p\in \mathbb C[\boldsymbol{z}]$诱导的点乘在$\mathcal H$上有界。我们固定由$p_1,\ldots,p_t$生成的理想$\mathcal I \subseteq \mathbb C[\boldsymbol{z}]$，并令$[\mathcal I]$表示$\mathcal I$在$\mathcal H$中的完备化。与解析Hilbert模$\mathcal H$相关联的层$\mathcal S^\mathcal H$是$\Omega$上全纯函数层$\mathcal O(\Omega)$，因而是自由的。然而，与$[\mathcal I]$相关联的子层$\mathcal S^{\mathcal [\mathcal I]}$是凝聚的，且未必局部自由。基于\cite{BMP}的早前工作，我们为凝聚层规定一种Hermitian结构，并借此求得易处理的不变量的。此外，我们证明若零点集$V_{[\mathcal I]}$是余维数为$t$的子流形，则沿零点集的核$K_{[\mathcal I]}$存在唯一的局部分解，该分解构成$V_{[\mathcal I]}$上向量丛的全纯标架。该向量丛的复几何不变量亦是子模$[\mathcal I] \subseteq \mathcal H$的酉不变量。