基于几何不变理论的半单Hopf代数

我们利用几何不变理论中的工具研究Hopf代数。我们证明，所获得的所有不变量均可使用Hopf代数及其对偶的积分连同乘法与余乘法构造出来，并且这些不变量决定了Hopf代数的同构类。随后我们定义张量幂$H$和$H^*$的某些典范子空间$Inv^{i,j}$，并利用不变理论证明这些子空间满足某种非退化条件。利用该非退化条件以及对称幺半群范畴的相关结果，我们证明空间$Inv^{i,j}$也可描述为$(H^{\otimes i}\otimes (H^*)^{\otimes j})^A$，其中$A$是$H$的Hopf自同构群。由此我们证明，在给定数环上的任意半单Hopf代数的可能Hopf阶数目是有限的。我们给出了源自Frobenius-Schur Indicators理论以及三流形Reshetikhin-Turaev不变量的这些不变量的若干例子。我们给出了群代数不变量的完整描述，证明它们均编码了从某个有限表示群到该群的同态数目。我们还证明，若所有不变量均为代数整数，则该Hopf代数满足Kaplansky第六猜想：$H$的不可约表示的维数整除$H$的维数。