关于有限维三角 Hopf 代数的分类

Hopf 代数理论中的一个基本问题是对 C 上的有限维拟三角 Hopf 代数进行分类和显式构造。这些 Hopf 代数构成了非常重要的一类 Hopf 代数，由 Drinfeld 引入（例如 Hopf 代数的量子偶）。然而，这一引人入胜的问题极其困难，且仍远未解决。人们希望解决三角情形下的该问题有助于理解一般情形。目前尚无有限维三角 Hopf 代数的完整分类。不过，该问题在半单情形由 Etingof 和作者解决，在极小三角点状情形由作者解决，更一般地对于具有 Chevalley 性质的三角 Hopf 代数由 Andruskiewitsch、Etingof 和作者解决。本文旨在报告所有这些进展，并详尽解释该理论所涉及的数学与思想。半单情形下的分类本质上依赖于 Deligne 关于 Tannakian 范畴的定理以及 Movshev 的理论。我们详细解释了 Movshev 的理论，并请读者参阅 math.QA/0007147 以详细讨论第一个方面。我们还讨论了拟三角半单 Hopf 代数中类群元素的存在性，以及余三角半单 Hopf 代数的表示理论。我们以一列相关的开放问题结束本文。