交换型 Hopf 代数的光滑性

在半单阿贝尔对称 monoidal 范畴中， Hopf 代数在此被假设为交换型但非有限型，其（等变）光滑性被讨论。给定范畴中的一个 Hopf 代数 $H$，证明以下条件等价：(i) $H$ 作为代数光滑；(ii) $H$ 作为 $H$-comodule 代数光滑；(iii) 定义在第二对称幂上的乘法态映射 $S_H^2(H^+) \to H^+$ 为单射。我们在特征为零的域 $k$ 上证明：(1) 每个普通 Hopf 代数，即在向量空间范畴 $\mathsf{Vec}$ 中的 Hopf 代数，满足等价条件 (i)--(iii) 以及其他条件；(2) 在超向量空间范畴 $\mathsf{sVec}$ 中的每个 Hopf 代数具有强于 (i) 的某种性质。在特征 $k=p>0$ 的情况下，展示了普通 Hopf 代数以及 Hopf 代数在 $\mathsf{sVec}$ 或 Verlinde 范畴的完备化 $\mathsf{Ver}_p^{\mathrm{ind}}$ 中的较弱性质。