Hopf代数与同伦不变量

在本文中，我们探索了代数拓扑与Hopf代数理论之间的新关系。对于任意拓扑空间$X$，环路空间同调$H_*(\Omega\Sigma X; \coefZ)$是一个Hopf代数。我们引入了拓扑空间$X$的一个新的同伦不变量，其取值为Hopf代数$H_*(\Omega\Sigma X; \coefZ)$的同构类（整数环上的）。当且仅当Hopf代数$H_*(\Omega\Sigma X; \coefZ)$同构于Lie-Hopf代数，即本原生成的Hopf代数时，该不变量是平凡的。我们证明，对于给定的$X$，这些不变量构成了存在某个空间$Y$使得同伦等价$\Sigma X\simeq \Sigma^2Y$成立的障碍。进一步地，利用Hopf代数的概念，我们确立了上同调环，特别是杯积的新结构性质。例如，利用多面体积$X$的悬垂是二重悬垂这一事实，我们得到了关于$X$上同调环结构的一个强条件。这在环面拓扑中给出了一个重要应用。对于一个代数要实现为与简单多面体$P$相关联的矩角流形$\Z_P$的上同调环，我们在Hopf代数$H_*(\Omega\Sigma \Z_P)$中发现了一个障碍。此外，我们使用同伦分解来研究特定的Hopf代数。