几何霍普夫不变量与手术理论

第一作者关于稳定映射 $F:\Sigma^{\infty}X \to \Sigma^{\infty}Y$ 的几何霍普夫不变量是一个稳定的 ${\mathbb Z}_2$-等变映射 $h(F):\Sigma^{\infty}X \to \Sigma^{\infty}(Y \wedge Y)$，通过对 $(F \wedge F)\Delta_X - \Delta_Y F$ 应用显式差构造得到。 $h(F)$ 的稳定 ${\mathbb Z}_2$-等变同伦类是将 $F$ 去悬直至同伦的主要障碍。该构造的显式性质允许在 $\pi$-等变映射 $F$（$\pi$为离散群）的情况下给出 $h(F)$ 的 $\pi$-等变版本。在早先的合作工作中，我们应用浸没 $f:M \to N$ 的 Umkehr 映射 $F:\Sigma^{\infty}N^+ \to \Sigma^{\infty}T(\nu_f)$ 的 $\pi_1(N)$-等变几何霍普夫不变量，在 ${\mathbb Z}_2$-等变同伦理论中捕捉 $f$ 的双点。在本稿件中，我们利用 $\pi$-等变几何霍普夫不变量 $h(F)$ 统一了所有先前关于双点的同伦理论处理。此外，将 $h(F)$ 与第二作者关于具有庞加莱对偶的链复形的代数手术理论相结合，为非单连通几何手术提供了同伦理论基矗。对于一个 $n$ 维正规映射 $(f,b):M \to X$，其 Umkehr 映射 $F:\Sigma^{\infty}X^+ \to\Sigma^{\infty}M^+$ 的 $\pi_1(X)$-等变几何霍普夫不变量 $h(F)$ 被证明在 $(f,b)$ 的链复形核 $C$ 上诱导出 $\pi_1(X)$-等变二次结构 $\psi_F$。此前 $\psi_F$ 仅能通过函数Steenrod平方的链复形类似物构造。Wall 手术阻碍 $\sigma_*(f,b)=(C,\psi_F) \in L_n({\mathbb Z}[\pi_1(X)])$ 是相应 $n$ 维二次庞加莱复形 $(C,\psi_F)$ 的配边类，一如原始理论所述。