到定向曲面的稳定映射的同伦不变量

维数 $m\ge 2$ 的流形 $M$ 到定向曲面 $F$ 的一般映射 $f: M\to F$ 的奇异集是一条闭光滑曲线 $\Sigma(f)$。我们研究 $\Sigma(f)$ 的连通分支数的奇偶性。奇异集的像 $f(\Sigma)$ 通过所谓的棋盘函数继承典范的局部定向。这样的局部定向引出 $\Sigma(f)$ 的累积绕数 $\omega(f)\in \frac{1}{2}\mathbb{Z}$。当流形 $M$ 的维数为偶数时，我们还定义一个不变量 $I(f)$，它是 $\Sigma(f)$ 的连通分支数、尖点个数以及 $f(\Sigma)$ 的自交点个数两倍之和模 $4$ 的剩余类。利用累积绕数与不变量 $I(f)$，我们证明在 $f$ 的同伦下，$\Sigma(f)$ 的连通分支数的奇偶性不变，只要满足以下条件之一：(i) $M$ 的维数为偶数，(ii) 该同伦的奇异集是可定向流形，或 (iii) 该同伦的奇异集的像没有三重自交点。