无限维 $C^{\infty}$-流形的光滑同伦

本文利用同伦代数（或抽象同伦方法）研究便利微积分中无限维 $C^\infty$-流形的光滑同伦问题。更确切地说，我们讨论映射、截面、主丛和规范变换的光滑化。我们首先引入遗传 $C^\infty$-仿紧性概念以及 $C^\infty$-流形上的半经典性条件，这使得我们能在局部论证中使用局部凸性。然后，在 $M$ 上遗传 $C^\infty$-仿紧性和半经典性条件下，我们证明对于 $C^\infty$-流形 $M$ 和 $N$，$C^\infty(M,N)$ 的光滑奇异复形弱等价于 $\mathcal{C}^0(M,N)$ 的普通奇异复形。接下来在相同 $M$ 条件下将此结果推广到 $M$ 上纤维丛的截面。进一步，在相同 $M$ 条件下，对李群 $G$ 和 $C^\infty$-流形 $M$，我们建立了 $M$ 上光滑主 $G$-丛的单纯群胚与 $M$ 上连续主 $G$-丛的单纯群胚之间的 Dwyer-Kan 等价，编码了主丛和规范变换的光滑化结果。为证明这些，我们将 $C^\infty$-流形范畴 $C^\infty$ 完全忠实嵌入到差序空间范畴 $\mathcal{D}$ 中，并通过对模型范畴 $\mathcal{D}$ 和弧生成空间范畴 $\mathcal{C}^0$ 的同伦代数研究发展差序空间的光滑同伦理论。于是，$M$ 上的遗传 $C^\infty$-仿紧性和半经典性条件意味着 $M$ 具有 $\mathcal{D}$ 中余 fibrant 对象的光滑同伦型。该结果可视为 Milnor、Palais 和 Heisey 关于无限维拓扑流形同伦型结果的光滑精细化。