$\mathbb{C}P^m$光滑结构与切向同伦类型的微分同胚分类（$5 \le m \le 8$）

本文对光滑流形进行微分同胚分类，这些流形与复 projective 空间$\mathbb{C}P^m$同胚，其中$m \in \{5, 6, 7, 8\}$。通过计算$\mathbb{C}P^m$上光滑结构的 concordance 类群，并确定在自同构群作用下的轨道空间，获得该分类结果。结合切向手术精确序列中的这些计算以及稳定同伦论中的技术手段，我们确定了在$\mathbb{C}P^m$的切向同伦类型下（$4 \le m \le 8$）的光滑流形的微分同胚类。我们还通过研究从同胚类型到切向同伦类型的自然映射，探讨了这两种分类问题之间的关系。结果表明，对于$m = 4$，存在唯一一种光滑流形（在微分同胚意义上）切向同伦等价于$\mathbb{C}P^4$但不同胚于它。此外，对于$m = 8$，存在恰好两种两两不微分同胚的光滑流形，切向同伦等价于$\mathbb{C}P^8$但不同胚于它。