微分空间(diffeological spaces)的同伦理论

微分空间是光滑流形的推广。本文研究微分空间的同伦理论。我们首先证明了后续所需的光滑同伦群的基本性质。然后引入与微分空间 $X$ 相关联的光滑奇异单纯集 $S^D(X)$，并证明当 $S^D(X)$ 为纤维性(fibrant)时，它能捕捉 $X$ 的光滑同伦性质。受此启发，我们定义 $X$ 为纤维性当且仅当 $S^D(X)$ 为纤维性，并更一般地利用光滑奇异单纯集函子在微分空间范畴中定义上纤维化(cofibrations)、纤维化(fibrations)和弱等价(weak equivalences)。我们猜想这些构成一个模型范畴结构，但本文假定读者对模型范畴的先验知识甚少，转而聚焦于关于光滑流形和微分空间的具体问题。我们证明，通过展示无边光滑流形是纤维性的，且对于纤维性微分空间，弱等价可用普通光滑同伦群检测，我们的框架推广了光滑流形的朴素光滑同伦理论。我们还证明，我们对纤维化的定义推广了 Iglesias-Zemmour 的微分纤维丛理论。我们证明了足够多的模型范畴公理，以表明每个微分空间都有一个函子性的上纤维替换。我们给出许多对象是上纤维性、非上纤维性、纤维性和非纤维性的显式例子，以及许多展示该理论丰富性的其他例子。例如，我们证明光滑流形的自由环路空间是纤维性的。本文的一个隐含要点是，模型范畴的语言是组织同伦思维的有效方式，即使尚不清楚所有模型范畴公理是否都满足。