可微层同伦理论

微分拓扑中的许多重要定理将流形的性质与其底层同伦类型的性质联系起来——后者例如使用全奇异复形或良好开覆盖的 Čech nerve 定义。将流形范畴嵌入可微层 $\infty$-拓扑 $\mathbf{Diff}^\infty$ 中，人们获得底层同伦类型的进一步概念：相应可微层的形状。在首批结果中，我们利用简单的共尾性与下降论证证明任意流形的形状与许多其他底层同伦类型概念（如上述那些）一致。我们的技术 moreover 允许计算，例如 Haefliger 栈的同伦类型，遵循 Carchedi。这引向更精细的问题，例如映射微分层具有正确形状意味着什么。为回答这些，我们在 $\infty$-范畴 $\mathbf{Diff}^\infty$（其限制于其 0-截断对象全子范畴 $\mathbf{Diff}^\infty_{\leq 0}$）上构造以形状等价为弱等价的模型结构以及更一般的同伦演算。这些工具 moreover 以高度可定制的方式发展，着眼于未来应用，例如几何拓扑。最后，在拓扑流形上层的 $\infty$-拓扑 $\mathbf{Diff}^0$ 上工作，我们给出代数拓扑中若干经典陈述的新的概念性证明。这些包括 Dugger 与 Isaksen 的超覆盖定理，以及单纯集与拓扑空间之间的 Quillen 伴随是 Quillen 等价这一事实。