无穷仿射空间的 Hilbert 概形与代数 K 理论

我们从 $\mathbb{A}^1$-同伦的观点研究 Hilbert 概形 $\mathrm{Hilb}_d(\mathbb{A}^\infty)$，并得到对代数 K 理论的应用。我们证明 Hilbert 概形 $\mathrm{Hilb}_d(\mathbb{A}^\infty)$ 与 $\mathbb{A}^\infty$ 中 $(d-1)$ 维平面的 Grassmann 流形 $\mathbb{A}^1$-等价。然后，在 $n$ 相对于 $d$ 较大的范围内，我们描述了 $\mathrm{Hilb}_d(\mathbb{A}^n)$ 的 $\mathbb{A}^1$-同伦类型。例如，我们在一定范围内计算了 $\mathrm{Hilb}_d(\mathbb{A}^n)(\mathbb{C})$ 的整数上同调。我们还推得从有限局部自由概形的模栈 $\mathrm{FFlat}$ 到有限局部自由层模栈 $\mathrm{Vect}$ 的遗忘映射在群完备后是 $\mathbb{A}^1$-等价。这意味着模栈 $\mathrm{FFlat}$ 作为带框转移的前层，是表示代数 K 理论的有效 motivic 谱 $\mathrm{kgl}$ 的一个模型。结合我们的技术与 Bachmann 最近的工作，我们得到了完美域上光滑真概形的 $\mathrm{kgl}$-同调的 Hilbert 概形模型。