代数配边与代数 K 理论的 Conner-Floyd 同构

我们为任意 qcqs 导出概型的代数 K 理论表述并证明了一个 Conner-Floyd 同构。为此，我们研究了一类非 $\mathbb A^1$-不变动机谱的稳定 $\infty$-范畴，其等价于满足初等爆破切除的基本动机谱的 $\infty$-范畴，后者由第一与第三作者此前引入。我们证明该 $\infty$-范畴满足 $\mathbb P^1$-同伦不变性与加权 $\mathbb A^1$-同伦不变性，并用以替代 $\mathbb A^1$-同伦不变性，从而获得 $\mathbb A^1$-同伦理论中若干关键结果的类比。这些特别地使我们能定义通用有向动机 $\mathbb E_\infty$-环谱 $\mathrm{MGL}$。随后我们证明，qcqs 导出概型 $X$ 的代数 K 理论可经由 Conner-Floyd 同构从其 $\mathrm{MGL}$-上同调恢复：$$\mathrm{MGL}^{**}(X)\otimes_{\mathrm L}\mathbb Z[\beta^{\pm 1}]\simeq \mathrm K^{**}(X),$$其中 $\mathrm L$ 为 Lazard 环，且 $\mathrm K^{p,q}(X)=\mathrm K_{2q-p}(X)$。最后，我们证明了周期化 $\mathrm{MGL}$ 的一个 Snaith 定理。