双曲群在 $L^p$ 空间上的固有等距作用

我们证明每个非初等双曲群 $\G$ 在 $L^p(\bd\G\times \bd\G)$ 上允许一个固有仿射等距作用，其中 $\bd\G$ 表示 $\G$ 的边界且 $p$ 足够大。我们的构造涉及 $\bd\G\times \bd\G$ 上的一个 $\G$-不变测度，类似于 CAT$(-1)$ 情形中的 Bowen-Margulis 测度，以及一个 Busemann 几何上闭链。我们还推导出，对于足够大的 $p$，$\G$ 在第一 $\ell^p$-上同调群 $H^1_{(p)}(\G)$ 上允许一个固有仿射等距作用。