准周期轨道遍历平均的超收敛

根据定义，若映射与纯旋转共轭，则该映射在集合$X$上是准周期的。假设我们有一条轨迹$(x_n)$，怀疑它是准周期的。我们如何确定它是否是？本文展示了如何仅利用$(x_n)$的知识计算共轭映射。我们的主要工具是伯克霍夫(Birkhoff)平均的一种变体。伯克霍夫遍历定理断言，对于遍历动力系统，沿长度为$N$的轨迹求值的函数的时间平均随着$N\to\infty$收敛到空间平均，即$f$的积分。但该收敛可能很慢。我们不使用对轨迹上的点赋予相等权重的均匀平均，而是使用具有非均匀权重分布的平均，对轨迹早期和晚期点的加权远小于靠近中点$N/2$的那些点。我们证明，在准周期动力系统中，若$f$充分可微，我们的加权平均收敛得快得多。该结果可应用于准周期系统的旋转数、不变密度和共轭的高效数值计算。