基于量子模形式的圆旋转极大 Birkhoff 和的极限律

本文展示了量子模形式如何自然出现在圆旋转的遍历理论中。针对经典的 Birkhoff 和 $S_N(\alpha)=\sum_{n=1}^N (\{ n \alpha \}-1/2)$，我们证明了当 $r \in \mathbb{Q}$ 时，$S_N(r)$ 的最大值、最小值以及某些指数矩作为 r 的函数满足扎吉尔（Zagier）连续性猜想的直接类比，该猜想最初是针对八字结的量子不变量提出的。作为推论，我们得到了随机 $\alpha \in [0,1]$ 时 $\max_{0 \le N<M} S_N(\alpha)$ 与 $\min_{0 \le N<M} S_N(\alpha)$ 的极限分布。