双曲纽结量子不变量的模性与值分布

我们得到了 $q$-Pochhammer 符号的精确模性关系。利用该公式，我们表明对纽结 $K$ 的 Zagier 模性猜想本质上可归约为 $K$ 的算术性猜想。特别地，我们证明了对于交叉数至多七个且 $K\neq 7_2$ 的双曲纽结，Zagier 猜想成立。对于 $K=4_1$，我们还证明了一个互补互反公式，由此可对单位根处着色 Jones 多项式的值证明大数定律。我们猜想类似公式对所有纽结成立，并表明在假设适当版本的 Zagier 猜想时确系如此。