Zagier 猜想与量子模形式的值分布

在其关于量子模形式的重要论文中，Zagier 发展了一个猜想框架，描述了某些量子纽结不变量在其参数上受模群作用时的行为。更准确地说，当 $J_{K,0}$ 表示纽结 $K$ 的彩色 Jones 多项式时，Zagier 的模性猜想描述了当 $x \to \infty$ 沿着分母有界的有理数时，商 $J_{K,0} (e^{2 \pi i \gamma(x)}) / J_{K,0}(e^{2 \pi i x})$ 的渐近行为，其中 $\gamma \in \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$。这个问题对于八字结 $4_1$ 最易处理，因为其彩色 Jones 多项式有一个用 $q$-Pochhammer 符号表示的简单显式表达式。Zagier 还猜想函数 $h(x) = \log (J_{4_1,0} (e^{2 \pi i x}) / J_{4_1,0}(e^{2 \pi i /x}))$ 可以扩展为 $\mathbb{R}$ 上的一个函数，该函数在无理数处连续。在本文中，我们证明了 Zagier 的连续性猜想对所有其连分数展开中的部分商序列无界的无理数成立。特别地，该连续性猜想在实线上几乎处处成立。我们还建立了 $h$ 的一个光滑逼近，该逼近在所有有理数上一致，符合模性猜想。作为一个应用，我们找到了当 $x$ 遍历 $(0,1)$ 中分母至多为 $N$ 的所有既约有理数，且 $N \to \infty$ 时，$\log J_{4_1,0}(e^{2 \pi i x})$ 的极限分布（经过适当的中心化和重新缩放），从而证实了 Bettin 和 Drappeau 的一个猜想。