余切和与丢番图和的极限律

圆周旋转上具有幂奇点的遍历平均的极限律最早由 Sinai 和 Ulcigrai 以及 Dolgopyat 和 Fayad 证明。在本文中，我们针对和式 $\sum_{n=1}^N f(n \alpha)/n^p$ 证明了一个带有收敛速率估计的极限律，其中 $f$ 是一个 $1$-周期函数，在整数处具有阶为 $p \ge 1$ 的幂奇点。我们的结果特别适用于与 Dedekind 和相关的余切和，以及出现在乘性丢番图逼近中的分数部分倒数和。主要工具是 Schmidt 在度量丢番图逼近中的方法、Gauss-Kuzmin 问题以及 $\psi$-混合随机变量的理论。