论出现在各种问题中的余割有限和

在本文中，我们研究了余割的有限和 $\sum\csc\big(\varphi+a\pi l/n\big)$，其中索引 $l$ 从 1 遍历到 $n-1$，$\varphi$ 和 $a$ 为任意参数，以及几个密切相关的和，例如一系列正割、正切和余切的类似和。这些三角和出现在数学、物理学以及各种相关学科的各种问题中。它们的特例在以前的工作中被零散地考虑过，并且注意到即使是一个简单的特例 $\sum\csc\big(\pi l/n\big)$ 也没有闭式解，即紧凑的求和公式。在本文中，我们推导了上述和的几种替代表示形式，研究了它们的性质，将它们与许多其他有限和无限和联系起来，获得了它们在大 $n$ 下的完全渐近展开，并提供了精确的上界和下界（例如，对于 $n\geqslant10$，上界的典型相对误差小于 $2\times10^{-9}$，对于 $n\geqslant50$，小于 $7\times10^{-14}$，这比我们能在以前的工作中找到的界要好得多）。我们的研究表明，这些和与几个特殊数和函数有着深刻的联系，特别是与 digamma 函数（此外，作为副产品，我们获得了几个有趣的 digamma 函数求和公式）。渐近研究表明，根据 $\varphi$ 和 $a$ 的选择，这些和可能具有定性不同的行为；特别是，随着 $n$ 的增加，其中一些和可能会零星地变得很大。最后，我们还提供了与本文中考虑的各种和相关的几条历史备注。我们表明，该领域中的一些结果要么被多次重新发现，要么可以很容易地从各种已知公式中推导出来，包括一些可追溯到 18 世纪的公式。