丢番图逼近中的和、级数与乘积

关于和式 $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{|\sin k\pi x|}$$ ，对所有的 $x$ 和所有的 $n$ 而言，能说的并不多。然而，对于此和式以及类似的和、级数与乘积，我们可以利用连分数的工具对几乎所有 $x$ 建立结果。我们详细展示了这些和在圆法奇异级数中的出现。本文一个特别的关注点是对 Hardy 和 Littlewood 一个引人注目的结果的详细证明，其紧凑的证明精巧地使用了解析延拓，自原始发表以来尚未在任何地方被重新完整写出。这一叙述包含了19世纪末与20世纪初数学的各个部分。