关于 Poincaré 的一个例子及含 Kronecker 序列的求和

这篇简短而简单的通讯受 L. Colzani 与 A. Kochergin 近期论文的启发。我们对 Poincaré 关于形如 $\sum_{k=0}^{t-1} f(k{\alpha}+{x})$ 之和（其中 $f$ 为连续周期函数且 $\alpha$ 为无理数）的一个例子及其近期推广作了简要分析。所考虑的大部分构造是众所周知的。在本注记中，我们仅希望将所有结果汇集在一起，给出 A. Kochergin 近期结果的一个一般化且改进的多维表述，证明不存在普适连续函数，并从丢番图逼近的角度讨论若干相关结果。特别地，我们认为涉及丢番图指数 $\omega$、$\hat{\omega}$ 与 $\hat{\lambda}$ 的光滑性结果此前从未被记载过。