Taylor 支配性、Turán 引理与 Poincaré-Perron 序列

我们考虑复圆盘 $D_R$ 内解析函数 $f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k}$ 的“Taylor 支配性”性质，其形式为不等式 $$|a_{k}|R^{k}\leq C\ \max_{i=0,\dots,N}\ |a_{i}|R^{i},\ k \geq N+1.$$ 该性质与 $f$ 在 $D_R$ 中经典的“叶数”概念密切相关。对于 $f$ 为有理函数的情况，我们证明了 Taylor 支配性本质上等价于一个著名且被广泛使用的关于幂和的 Turán 不等式。接着，我们考虑 Poincaré 型线性递推关系 $$a_{k}=\sum_{j=1}^{d}[c_{j}+\psi_{j}(k)]a_{k-j},\ k=d,d+1,\dots,\quad\text{其中 }\lim_{k\rightarrow\infty}\psi_{j}(k)=0.$$ 我们证明其解的母函数具有参数显式确定的 Taylor 支配性。作为主要示例，我们考虑矩母函数，即 Stieltjes 变换 $$S_{g}\left(z\right)=\int\frac{g\left(x\right)dx}{1-zx}.$$ 我们证明了当 $g$ 是分段 D-finite 函数，且在每个连续性区间上满足具有多项式系数的线性常微分方程时，此类 $S_{g}$ 的 Taylor 支配性性质。