正则图中的高效 (j,k)-支配

Rubalcaba 与 Slater (Robert R. Rubalcaba and Peter J. Slater. Efficient (j,k)-domination. Discuss. Math. Graph Theory, 27(3):409-423, 2007.) 将图 $X$ 上的 $(j,k)$-支配函数定义为函数 $f:V(X)\rightarrow \{0,\ldots,j\}$，使得对每个 $v\in V(X)$ 有 $f(N[v])\geq k$，其中 $N[v]$ 是 $v$ 的闭邻域。若所有顶点不等式均以等号成立，则称该函数是高效的。他们给出了高效支配的一个简单必要条件：若 $X$ 是含 $n$ 个顶点的 $r$-正则图且具有高效的 $(1,k)$-支配函数，则相应支配集的大小整除 $n\cdot k$。Hamming 图 $H(q,d)$ 是以向量 $\mathbb{Z}_q^d$ 为顶点的图，其中两个向量相邻当且仅当它们的 Hamming 距离为 $1$。我们证明若 $q$ 为素数，则前述必要条件对 $H(q,d)$ 具有高效 $(1,k)$-支配函数是充分的。该结果推广了 Lee (Jaeun Lee. Independent perfect domination sets in Cayley graphs. J. Graph Theory, 37(4):213-219, 2001.) 关于 Cayley 图中独立完美支配的结论。我们指出了当 $q$ 为素数幂但非素数时 $H(q,d)$ 所出现的困难。