Product Graphs 中的高效 $k$-limited Dominating Broadcasts

在图 $G$ 中，一组顶点 $S$ 若满足每个顶点在图中被恰好由 $S$ 中的唯一一个顶点唯一支配，则称为高效支配集（EDS）。若图中包含 EDS，则称该图是高效可支配的。此外，函数 $f: V(G) \rightarrow \{0, 1, 2, \dots, k\}$ 若满足：对于图中每个顶点 $u \in V(G)$，都存在一个顶点 $v$，且 $f(v) \geq 1$ 且 $d(u, v) \leq f(v)$，则称其为 $k$-limited 支配广播。若顶点 $u$ 被顶点 $v$ 支配，则称 $u$ 由 $v$ 支配。本文统一这两个概念，探讨高效 $k$-limited 支配广播在图中的概念。若每个顶点都被恰好支配一次，则 $k$-limited 支配广播 $f$ 称为高效 $k$-limited 支配广播（$k$-$ELDB$）。给定图 $G$ 的最小 $k$ 值定义为 $mcr(G)$。我们证明确定 $mcr(G)$ 对一般图是 NP-Complete 的，并探讨标准图及其乘积图的 $mcr(G)$ 值及其他相关参数。