大二次特征值和的分布及其应用

本文研究了附着于基本判别式 $|d|\leq x$ 的本原二次特征标族上特征标和的最大值之分布。特别地，我们的工作改进了 Montgomery 和 Vaughan 的结果，并给出有力证据说明 Bateman 和 Chowla 关于二次特征标和的 Omega 结果是最优的。我们还对判别式不超过 $x$ 的素数所得的实特征标获得了类似结果，并推得一个有趣推论：几乎所有具有大 Legendre 符号和的素数均同余于 $3$ 模 $4$。我们的工作受近期 Bober、Goldmakher、Granville 和 Koukoulopoulos 的启发，他们针对大素数模的非主特征标族证明了类似结果。然而，他们的方法似乎不能推广到 Dirichlet 特征标的其他族。相反，我们采用了一种不同且更简洁的途径，主要依赖于二次大筛法。作为一个应用，我们考虑了 Montgomery 关于 Legendre 符号和的正性提出的一个问题。