压缩超分辨 I：极大秩平方和

设$\mu(t) = \sum_{\tau\in S} \alpha_\tau \delta(t-\tau)$表示定义在$[0,1]$上的$|S|$-原子测度，满足$\min_{\tau\neq \tau'}|\tau - \tau'|\geq |S|\cdot n^{-1}$。令$\eta(\theta) = \sum_{\tau\in S} a_\tau D_n(\theta - \tau) + b_\tau D'_n(\theta - \tau)$表示由Dirichlet核$D_n(\theta) = \frac{1}{n+1}\sum_{|k|\leq n} e^{2\pi i k \theta}$及其导数通过求解方程组$\left\{\eta(\tau) = 1, \eta'(\tau) = 0,\; \forall \tau \in S\right\}$得到的多项式。我们证明，对充分大的$n$、$\Delta> |S|^2 n^{-1}$，非负多项式$1 - |\eta(\theta)|^2$在原子$\tau \in S$处为零，在$[0,1]$区间其余处不超过$1$，可写为平方和且关联Gram矩阵秩为$n-|S|$。与以往工作不同，我们的方法不依赖Fejer-Riesz定理（该定理阻碍对Gram矩阵建立直观），而是需要对一个（截断的）大型（$O(1e10)$）矩阵的奇异值给出下界。尽管内存需求目前阻碍高效处理此类矩阵，我们展示了如何通过幂迭代与特殊函数卷积对高达$O(1e7)$的规模推导此类下界。我们还给出数值模拟，表明只要截断规模大于$100$，谱随截断规模近似保持恒定。