球面上的平方和层次结构及其在量子信息论中的应用

我们考虑在单位球面上最大化齐次多项式的问题及其平方和（SOS）松弛的层次结构。利用多项式核技巧，我们获得了 Reznick 以及 Doherty 与 Wehner 所给出收敛速率的二次改进。具体而言，我们证明在 $\ell \geq \Omega(d)$ 的 regime 下收敛速率不差于 $O(d^2/\ell^2)$，其中 $\ell$ 为层次结构的层级，$d$ 为维数，从而解决了 de Klerk 与 Laurent 近期论文（arXiv:1904.08828）中遗留的开放问题。重要的是，我们的分析也适用于球面上的矩阵值多项式，这在量子信息的最优可分态问题中具有应用。通过利用量子信息论中平方和与 DPS 层次结构之间的对偶关系，我们证明我们的结果将 Navascués、Owari 与 Plenio 的收敛速率推广到了非二次多项式。