量子纠缠、平方和与对数秩猜想

对于每个 $\epsilon>0$，我们给出一个 $\exp(\tilde{O}(\sqrt{n}/\epsilon^2))$ 时间的算法，用于 $1$ 对 $1-\epsilon$ 的\emph{最佳可分态 (Best Separable State, BSS)} 问题：给定一个对应于量子测量的 $n^2\times n^2$ 矩阵 $\mathcal{M}$，区分存在可分（即非纠缠）态 $\rho$ 使得 $\mathcal{M}$ 以概率 $1$ 接受，与每个可分态被接受的概率至多为 $1-\epsilon$ 的情况。等价地，我们的算法输入一个子空间 $\mathcal{W} \subseteq \mathbb{F}^{n^2}$（其中 $\mathbb{F}$ 可以是实数域或复数域）的描述，并区分 $\mathcal{W}$ 包含一个秩一矩阵的情况，与每个秩一矩阵至少与 $\mathcal{W}$ 相距 $\epsilon$（在 $\ell_2$ 距离下）的情况。据我们所知，这是针对该问题的暴力 $\exp(n)$ 时间算法的首次改进。我们的算法基于\emph{平方和 (sum-of-squares)} 层次结构，其分析受 Lovett 的证明（STOC '14, JACM '16）启发，该证明表明每个秩为 $n$ 的布尔矩阵的通信复杂度以 $\tilde{O}(\sqrt{n})$ 为界。