极稀疏随机图中独立集的 Sum-of-Squares 下界

我们证明了对于任意 $D \in \N$，以及足够大的常数 $d \in \N$，当随机选择 $G \sim G(n,d/n)$（即 Erdos-Renyi 随机图分布）时，标准次数为 $2D$ 的 Sum-of-Squares 松弛无法证明图中最大独立集的大小为 $o(\frac{n}{\sqrt{d} D^4})$。特别地，次数为 $D$ 的 Sum-of-Squares 强化最多只能将经典 Lovasz theta SDP 松弛的 integrality gap 缩小一个 $O(D^4)$ 的因子。这项工作是首个在任意大于 4 次数的 Sum-of-Squares (SoS) 松弛中，对任何问题在“极稀疏”随机图（即平均度为常数的）上的下界。此类极稀疏图是先前方法已知的障碍，并被明确指出是主要的开放方向（如参考文献）。事实上，唯一另一项关于极稀疏随机图上的 SoS 下界的例子，是 Max-Cut 的一次次数为 4 的下界。我们的主要技术结果是一种新的方法，可在绝大部分图矩阵上获得精确到绝对常数因子的谱范数估计。所有先前的工作都会丢失 $\poly \log n$ 的因子，这会使次数为 $o(\log n)$ 的随机图上的任何下界都变得平凡。我们将这些新的界限与若干针对由伪校准构建的下界 witness 的若干升级相结合，以便我们的分析在任何 $\omega(1)$ 的因子上都不会丢失，这会使我们的结论变得平凡。除了其他 SoS 下界外，我们相信我们的方法对于建立图矩阵的谱范数估计将在分析基于平均情况输入的数值算法时具有用途。