通过 SOS 与 Frankl--Rödl 图推导超收缩不等式

我们的主要结果是在平方和（SOS）证明系统中对反向超收缩不等式进行表述与证明。作为推论，我们证明了对任意常数 $0 < \gamma \leq 1/4$，度为 $4\lceil \frac{1}{4\gamma}\rceil$ 的 SOS/Lasserre SDP 层级能够证明“Frankl--Rödl 图 $\mathrm{FR}^{n}_{\gamma}$ 中的最大独立集具有分数规模 $o(1)$”这一陈述。其中 $\mathrm{FR}^{n}_{\gamma} = (V,E)$ 是满足 $V = \{0,1\}^n$ 且当 $\Delta(x,y) = (1-\gamma)n$（偶整数）时 $(x,y) \in E$ 的图。特别地，我们证明了度为 $4$ 的 SOS 算法能够证明色数下界“$\chi(\mathrm{FR}^{n}_{1/4}) = \omega(1)$”，尽管 $\mathrm{FR}^{n}_{1/4}$ 是典型的积分间隙实例，标准 SDP 松弛甚至无法证明“$\chi(\mathrm{FR}^{n}_{1/4}) > 3$”。最后，我们还给出了对任意偶整数 $q$ 的精确 $(2,q)$-超收缩不等式（及其推广）的 SOS 证明。