着色问题的无压力平方和下界

我们证明，对于从 Erd\H{o}s-R\'enyi 分布 $G(n,1/2)$ 中选取的随机图 $G$，以高概率而言，一个自然的 $n^{O(\varepsilon^2 \log n)}$ 时间、度数为 $O(\varepsilon^2 \log n)$ 的平方和半定规划无法反驳 $G$ 存在 $k = n^{1/2 +\varepsilon}$ 的有效 $k$-着色的结论。我们的结果表明，基本半定规划（Lov\'asz theta 函数的一个相近变体）的反驳保证无法通过自然的 $o(\log n)$ 度数的平方和加强来显著改进，并且这一结论在 $k$ 上直至 $n^{o(1)}$ 的松弛都是紧的。据我们所知，这是针对 $G(n,1/2)$ 着色问题的首个下界，即便是针对任何 SDP 层级中基本 SDP 的单轮加强也是如此。我们的证明依赖于 SoS 中从图着色到在其内部寻找大独立集的一种新的保实例非逐点完全归约变体。我们的证明（或许令人惊讶地）简短、简单，且不需要许多类似结果证明中原本必需的、针对具有相关项的随机矩阵的复杂谱范数界 [BHK+16, HKP+17, KB19, GJJ+20, MRX20]。我们的结果形式上是针对一种约束系统成立的，其中顶点可属于多个颜色类；我们将扩展到形式上更强的着色表述（顶点必须属于唯一颜色类）留作一个突出的开放问题。