论 Erd\H{o}s 与 Loxton 定理

设 $a(n)$ 为形如 $a_1 + a_2 + \cdots + a_k$ 的划分数，其中 $a_{i + 1}$ 为 $a_i$ 的一个真约数，满足 $i < k$。Erd{\H o}s 和 Loxton 证明，$a(n)$ 的和关于 $n \leq x$ 的和与 $x^\rho$ 成常数的倍数渐近，其中 $s = \rho \approx 1.73$ 是唯一满足 $\zeta(s) = 2$ 且 $s > 1$ 的解。在本文中，我们给出该常数的紧界，尽管我们没有找到它的确切公式。此外，我们给出 $a(n)$ 的显式上界。