广义Pillai方程 $\pm r a^x \pm s b^y = c$

在本文中，我们考虑 $N$，即方程 $(-1)^u r a^x + (-1)^v s b^y = c$ 在非负整数 $x, y$ 和整数 $u, v \in \{0,1\}$ 中解 $(x,y,u,v)$ 的个数，其中给定整数 $a>1$, $b>1$, $c>0$, $r>0$ 和 $s>0$。我们证明当 $\gcd(ra, sb) =1$ 且 $\min(x,y)>0$ 时，$N \le 2$，除了有限个可以在有限步内找到的情况。对于任意的 $\gcd(ra, sb)$ 和 $\min(x,y) \ge 0$，我们证明当 $(u,v) = (0,1)$ 时，$N \le 3$，且有无限多个 $N=3$ 的情况。