处理广义 Pillai 方程 $\pm r a^x \pm s b^y = c$ 问题的一个大界限

我们考虑方程 $(-1)^u r a^x + (-1)^v s b^y = c$ 在非负整数 $x, y$ 和整数 $u, v \in \{0,1\}$ 中解 $(x,y,u,v)$ 的个数 $N$，其中给定整数 $a>1$, $b>1$, $c>0$, $r>0$ 和 $s>0$。先前的工作表明，除了解中 $r$, $a$, $x$, $s$, $b$ 和 $y$ 均以 $8 \cdot 10^{14}$ 或 $2 \cdot 10^{15}$ 为界的情况可能例外，有九个本质不同的 $(a,b,c,r,s)$ 使得 $N \ge 4$。在本文中，我们证明了在这些界限内不存在其他 $N \ge 4$ 的情况。我们指出，对于无穷多个 $(a,b,c,r,s)$ 有 $N = 3$，即使我们排除了那些以几种完全指定的方式直接从其他情况导出的情况。我们的工作与先前工作的不同之处在于，我们允许 $x$ 和 $y$ 为零，并且也允许选择 $(0,1)$ 以外的 $(u,v)$。