广义Pillai方程 $\pm r a^x \pm s b^y = c$, II

我们考虑 $N$，即方程 $(-1)^u r a^x + (-1)^v s b^y = c$ 在非负整数 $x, y$ 和整数 $u, v \in \{0,1\}$ 中解 $(x,y,u,v)$ 的个数，其中给定整数 $a>1$, $b>1$, $c>0$, $r>0$ 和 $s>0$。当 $(ra,sb)=1$ 时，我们证明 $N \le 3$，除了有限个情况，每个解均满足 $\max(a,b,r,s, x,y) < 2 \cdot 10^{15}$；当 $(a,b)>1$ 时，我们证明 $N \le 3$，除了三个无限族的例外情况。我们找到了几种不同的方法来生成无限多个给出 $N=3$ 解的情况的无限族。