关于广义Eisenstein级数与周期zeta函数的Ramanujan公式

本文中，研究了一大类Eisenstein级数的变换公式，该级数定义为 $$G(z,s;A_{\alpha},B_{\beta};r_{1},r_{2})=\sum\limits_{m,n=-\infty}^{\infty }\ \hspace{-0.19in}^{^{\prime}}\frac{f(\alpha m)f^{\ast}(\beta n)} {((m+r_{1})z+n+r_{2})^{s}},\text{ }\operatorname{Re}(s)>2,\text{ }\operatorname{Im}(z)>0$$ 针对 $s=1-r$, $r\in\mathbb{N}$。此处 $\left\{ f(n)\right\}$ 与 $\left\{ f^{\ast}(n)\right\}$, $-\infty<n<\infty$ 是周期为 $k>0$ 的复数序列，且 $A_{\alpha}=\left\{ f(\alpha n)\right\}$ 与 $B_{\beta}=\left\{ f^{\ast}(\beta n)\right\}$, $\alpha,\beta\in\mathbb{Z}$。变换公式中出现了涉及周期Bernoulli函数的Dedekind和的推广。在变换公式的语境之外，证明了周期Apostol-Dedekind和的互反律。此外，给出了 $G(z,s;A_{\alpha},I;r_{1},r_{2})$ 与 $G(z,s;I,A_{\alpha };r_{1},r_{2})$ 的变换公式，其中 $I=\left\{ 1\right\}$。作为这些公式的应用，导出了周期zeta函数的Ramanujan公式的类似物。