利普希茨求和公式的应用及拉贝余弦变换的一个推广

一般求和公式已被证明在分析、数论及数学其他分支中非常有用。利普希茨（Lipschitz）求和公式即为其一。本文通过给出一个推广拉马努金公式的新变换公式来展示其应用。拉马努金的结果反过来又是 SL$_2(\mathbb{Z})$ 上艾森斯坦级数 $E_k(z)$ 的模变换（$z\to-1/z, z\in\mathbb{H}$）的推广。我们结果的证明涉及含柯西主值积分的精细分析。利用利普希茨求和公式，我们也导出了近期与 Kesarwani 关于 $\sum_{n=1}^{\infty}\sigma_{2m}(n)e^{-ny}$ 非模变换结果的更简证明。在寻求此变换的过程中，我们自然遇到拉贝余弦变换的一个新推广，并展示了其若干性质。作为该结果的推论，我们得到了正整数 $n$ 平面分拆数生成函数赖特（Wright）渐近估计的推广。