一个代数恒等式及其与第二类斯特林数的关系

在这篇短文中，我们给出一个代数恒等式，并利用其概率解释给出证明。我们展示了该恒等式的几个推论，特别地，我们得到第二类斯特林数的一个新表示：$$S(n,d)={1\over d!} \sum_{1\leq j_1<j_2<\ldots<j_{d-1}< n} 1\cdot2^{j_{d-1}-j_{d-2}}\cdots d^{j_1}$$ 对整数 $n\geq d$ 成立。将该式与其他已知的 $S(n,d)$ 公式相关联，我们还得到 $$\sum_{1\leq j_1\leq j_2\leq \cdots\leq j_{n-d}\leq d} j_1j_2\ldots,j_{n-d} =d! \sum_{1\leq j_1<j_2<\ldots<j_{d-1}< n} 1\cdot2^{j_{d-1}-j_{d-2}}\cdots d^{j_1}.$$ 作为副产物，我们得到一个已知结果的新证明：对任意整数 $d\in\mathbb{N}$ 与任意 $x\in\mathbb{R}$，等式 $$\sum_{r=0}^d (-1)^r{d\choose r}(x-r)^d=d!$$ 成立。这是所提恒等式的一个特例。