一个与鞍点法和斯特林公式相关的奇特恒等式

我们证明如下形式幂级数意义下的奇特恒等式：$$\int_{-\infty}^{\infty}[y^m] \exp\left(-\frac{t^2}2 +\sum_{j\ge3}\frac{(it)^j}{j!}\, y^{j-2}\right)\mathrm{d} t = \int_{-\infty}^{\infty}[y^m] \exp\left(-\frac{t^2}2+ \sum_{j\ge3}\frac{(it)^j}{j}\, y^{j-2}\right)\mathrm{d} t,$$ 对 $m=0,1,\dots$ 成立，其中 $[y^m]f(y)$ 表示 $f$ 的泰勒展开中 $y^m$ 的系数。本文还从鞍点法的角度考察了该恒等式的普遍性。